为什么加速的观察者在真空中能探测到粒子？最(2)

式14：原始光锥坐标与共动参考系光锥坐标的显式表达式。现在我们可以使用上面推导的结果来明确地写出式 12中的线元素：

式15：与Ω(ξ，ξ)相接近的参照系中的线元素显式地表示。这被称为伦德勒时空，与闵可夫斯基时空（没有曲率）等价。下图显示了伦德勒加速观测者的例子。

图6：二维时空中的伦德勒坐标。虚线所划分的区域是伦德勒楔形，它是共动光锥坐标的有效域。世界线（实双曲线）代表具有常数ξ的匀加速观测者，而虚线有常数ξ。图中还显示了坐标系统中没有涉及到的三个事件。来自P和Q的信号永远不会到达观察者，而来自加速观察者的消息永远不会到达R。坐标x和t可以用ξs变量表示：

式16：初始坐标x和t用ξs变量表示。引入量子场

让我们考虑1+1时空中的无质量标量场。这个作用：

式17：无质量标量场在1+1时空中的作用。是保角不变的：

式18：式17中作用的保角不变性（g在这里是度规g的行列式）这解释了S在惯性系和加速系中的相似性：

式19：保角不变性解释了惯性系和加速来速系中运动的相似性。将式6和式13写在光锥坐标下，我们可以很容易地确定场方程并求解它们。场方程的解为左右移动模态的和：

式20方程的解和式14的这种性质意味着相反的运动模式彼此不影响，因此可以单独处理。为了避免混乱，我将从现在开始只写下右移模式。

到目前为止，没有涉及量子力学。我们现在将这个理论量子化。

在伦德勒楔形内部，坐标系重叠，我们可以按照标准规范化过程对理论进行量化，并展开量子场算子：

式21：量子场理论的标准模展开。LM为左向移动模式。算符：

式22：展开方程式21中使用的创造和湮灭算符。注意有两种真空状态，即：

式23：伦德勒真空和闵可夫斯基真空“恰当的”真空取决于正在进行的实验。例如，从加速（或伦德勒）观测者的角度来看，闵可夫斯基真空是一种含有粒子的状态。换句话说，如果量子场处于闵可夫斯基真空状态，伦德勒观测者的探测器将记录无质量粒子的存在。相反，如果量子场在伦德勒真空中就不会。

a和b算子的关系

式22中算子之间的变换称为玻戈留波夫变换（Bogoliubov transformation）：

式24：关于a和b算子的玻戈留波夫变换。

最终得到以下结果：

频率为Ω的粒子的平均密度由加速观测者测得在闵可夫斯基真空中，由加速探测器测得的无质量粒子所服从的玻色-爱因斯坦分布的温度，即所谓的盎鲁温度。平均密度为：

式26：加速观察者测量的频率为Ω的粒子的平均密度服从玻色-爱因斯坦分布。温度等于所谓的盎鲁温度：

式27：由一个加速观测者测量的粒子的温度。

图8：三个统计量的基态平均占用率的比较。玻色-爱因斯坦分布是红线。物理解释

可以这样解释盎鲁效应。量子真空的涨落与加速观测者携带的探测器相互作用。这种相互作用激励探测器，就好像它是在一个热浴中，温度由式27给出。请注意，这种波动的能量是由任何产生加速度的机制产生的。