• 图6：能量为E的粒子在有两个拐点（a和b）的势阱中运动。

具体过程如图7所示：

• 图7：量子隧穿

现在让我们考虑以下的可能性（图8左侧）：

• 图8：反弹的势(左)和它的逆

拉格朗日函数：

• 式3：单位质量在一维势垒中运动的拉格朗日函数。

使用WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）近似，我们得到了与越过势垒相关的隧穿速率：

• 式4：与越过势垒相关的隧穿速率。

将计算推广到多维是很简单的。拉格朗日函数就变成：

• 式5：单位质量在多维势垒中运动的拉格朗日函数。

系数B由下式确定：

• 式6：式4中的系数B。

其中U(x?)=0，σ是一个零面Σ。积分是在最小化B的路径上：

• 式7：公式6中的积分是在B最小的路径上。

越过势垒后，粒子的运动变成经典运动（开始时动能为零）。

根据雅可比对莫佩尔图伊斯原理的表述：

• 式8：莫佩尔图伊斯原理的雅可比公式。

这个方程决定了粒子在构型空间中轨迹的形状。这些轨迹是运动方程的解：

• 式9：质点沿式8所确定的路径运动的方程式。

比较式7和式8，我们注意到两种变分原理在两个方面有所不同，在式7中，E=0并且电位的符号被翻转。因为式7对应式10，所以式8给我们：

• 式10：欧几里得运动方程式，质点沿式7确定的路径运动。注意，时间变量使用 τ。

由式9可以得到式10，通过一个称为威克转动的变换：

• 式11：用-iτ代入时间变量t。

变量τ称为虚数时间或欧几里得时间，R的索引“+”表示τ >0。

• 图9：虚时间轴，欧几里得时间轴和威克转动，图片来源（springer）

式10取将欧几里得拉格朗日函数极值得到的运动方程：

• 取欧几里得拉格朗日函数极值，我们得到式10。

x(τ)满足以下两个条件：

• 式13：x(τ)满足这两个条件。

以下是关于这些条件的几点观察：

• 系统在τ→-∞处处于经典平衡点
• 系统是时平移不变的。因此我们可以选择σ =0。在欧几里得时间τ =0时，U=0。式13中的第二个条件由式10得到。
• 第二个条件表明τ > 0的运动方向相反。这是τ → +∞时的反弹Σ ，粒子回到它的经典平衡点

由式9和式12，我们也有:：

利用这些结果，我们从式6得到B的值：

式14：式6中系数B的值。

现在把我们的目光转换到量子场。

我们宇宙中的假真空衰变

让我们回到文章开头描述的问题（宇宙的亚稳态真空），并计算衰变概率。为简单起见，考虑具有以下欧几里得作用的量子标量场：

• 式15：标量场φ的欧几里得作用。

反弹是相应的欧几里得运动方程的解：

• 式16：由式15中的运动S产生的欧拉-拉格朗日运动方程。

下面的势U(φ)将用于计算：

• 式17：U(φ)的数学表达式。

第一项是φ-对称的，而由宇宙选择的假真空，lies ε?1（见图2）。

有三种反弹边界条件。第一个条件说明反弹解从负无穷处的假真空回到正无穷处的假真空。数学上它由：

文章来源：《真空科学与技术学报》 网址: http://www.zkkxyjsxb.cn/zonghexinwen/2021/0301/508.html

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